Mathématiques : que faut-il savoir pour résoudre des problèmes ?

Rédigé et vérifié par le psychologue Sergio De Dios González

Écrit par Alejandro Sanfeliciano

Dernière mise à jour : 27 décembre, 2022

Il est important de comprendre les composants fondamentaux que les élèves doivent développer pour apprendre et comprendre les mathématiques et aussi de savoir comment se déroule ce processus. Ce n’est que de cette façon que les mathématiques pourront être apprises de façon adéquate et adaptée.

Pour comprendre le fonctionnement des mathématiques, l’élève doit dominer quatre composants fondamentaux :

• Les connaissances linguistiques et factuelles appropriées pour construire la représentation mentale des problèmes
• Savoir construire des connaissances schématiques pour intégrer toutes les informations accessibles
• Posséder des capacités stratégiques et méta-stratégiques afin d’orienter la solution du problème
• Avoir les connaissances procédurales qui permettent de résoudre le problème

Il est essentiel de savoir que ces quatre composants se développent au cours de quatre phases différentes lors de la résolution de problèmes mathématiques. Nous allons maintenant voir les processus impliqués dans chacune d’elles :

• Traduction du problème
• Intégration du problème
• Planification de la solution
• Exécution de la solution

1. Traduction du problème

La première chose que doit faire l’élève quand il fait face à un problème mathématique est de le traduire sous forme de représentation interne. De cette façon, il aura une image des données disponibles et des objectifs. Pour que les énoncés se traduisent correctement, il faut que l’élève maîtrise le langage spécifique. Mais aussi les connaissances factuelles adéquates. Par exemple, que le carré a quatre côtés égaux.

À travers les recherches, nous avons pu observer que les élèves se laissent souvent guider par les aspects superficiels et peu significatifs des énoncés. Cette technique peut être utile quand le texte superficiel est en accord avec le problème. Or, quand ce n’est pas le cas, cette technique entraîne une série de soucis. En général, le plus grave est que les élèves ne comprennent pas ce qu’on leur demande. Le combat est perdu d’avance. Si une personne ne sait pas ce qu’elle doit atteindre, il est impossible de la voir réussir.

L’enseignement des mathématiques doit donc commencer par un apprentissage de la traduction des problèmes. De nombreuses études ont démontré que l’entraînement spécifique au moment de créer de bonnes représentations mentales des problèmes améliore la capacité mathématique.

2. Intégration du problème

Une fois la traduction de l’énoncé du problème faite, l’étape suivante consiste à l’intégrer dans un tout. Pour ce faire, il est très important de connaître le véritable objectif du problème. Il faut aussi être conscient des ressources dont nous bénéficions lorsque nous l’affrontons. En d’autres termes, cette tâche requiert que l’on obtienne une vision générale du problème mathématique. 

N’importe quelle erreur au moment d’intégrer les différentes données supposera une sensation de manque de compréhension. Nous nous sentirons perdus. Dans le pire des cas, le problème sera résolu d’une façon totalement inadéquate. Il est donc essentiel de souligner cet aspect lorsque l’on enseigne les mathématiques car il s’agit d’un processus clé pour comprendre un problème.

Les élèves se concentrent davantage sur les aspects superficiels que sur les profonds, comme lors de la phase antérieure. Au moment de déterminer le type de problème, au lieu de se concentrer sur son objectif, ils s’intéressent plus aux caractéristiques superflues. Par chance, cela peut se résoudre à travers une instruction spécifique, en habituant les élèves à voir apparaître un problème sous différentes formes.

3. Planification et supervision de la solution

Si les élèves ont réussi à connaître le problème en profondeur, le pas suivant consiste à générer un plan d’attaque pour trouver la solution. Le moment est venu de diviser le problème en petites actions afin de se rapprocher progressivement de la solution.

Il s’agit peut-être de la partie la plus complexe au moment de résoudre un exercice de mathématiques. Elle requiert une grande flexibilité cognitive et un effort d’exécution, surtout si nous nous trouvons face à un nouveau problème.

Vu sous cet aspect, l’enseignement des mathématiques peut sembler impossible. Or, les recherches ont démontré qu’à travers différentes méthodes, nous pouvons voir notre rendement augmenter au niveau de la planification. Voici les trois principes essentiels de ces méthodes :

• Apprentissage génératif. Les élèves apprennent mieux lorsqu’ils construisent eux-mêmes leur connaissance. Il s’agit d’un aspect clé dans les théories constructivistes.
• Instruction contextualisée. Résoudre des problèmes dans un contexte significatif et utile aide à améliorer la compréhension des élèves.
• Apprentissage coopératif. La coopération peut aider les élèves à mettre leurs idées en commun et à être inspirés par celles des autres. Cela permet de renforcer l’apprentissage génératif.

4. Exécution de la solution

La dernière étape au moment de résoudre un problème consiste à trouver sa solution. Pour cela, nous devons nous servir de nos connaissances sur la façon dont se résolvent certaines opérations ou parties d’un problème. La clé pour une bonne exécution est d’avoir des capacités internes de base qui nous permettent de résoudre progressivement le problème sans interférer sur les autres processus cognitifs.

La pratique et la répétition sont une bonne méthode pour développer ces capacités, mais il en existe d’autres. Si nous introduisons d’autres méthodes dans l’enseignement des mathématiques (comme la notion du chiffre, compter, les lignes numériques, etc.), l’apprentissage en sera renforcé.

Comme nous le voyons, résoudre des problèmes mathématiques est un exercice mental complexe qui se compose d’une multitude de processus liés entre eux. Essayer d’enseigner cette matière de façon rigide et systématique est l’une des pires erreurs que l’on puisse faire. Si nous voulons des étudiants avec de grandes capacités mathématiques, nous devons être flexibles et centrer l’enseignement autour des processus impliqués.